Упрощение электрических цепей – 03 Лекция

1.4. Способы соединения сопротивлений и расчет эквивалентного сопротивления электрической цепи

Сопротивления
в электрических цепях могут быть
соединены последовательно, параллельно,
по смешанной схеме и по схемам «звезда»,
«треугольник». Расчет сложной схемы
упрощается, если сопротивления в этой
схеме заменяются одним эквивалентным
сопротивлением Rэкв,
и вся схема представляется в виде схемы
на рис. 1.3, где R=Rэкв,
а расчет токов и напряжений производится
с помощью законов Ома и Кирхгофа.

Электрическая
цепь с последовательным соединением
элементов

Рис.
1.4

Рис.
1.5

Последовательным
называют такое соединение элементов
цепи, при котором во всех включенных в
цепь элементах возникает один и тот же
ток I (рис. 1.4).

На
основании второго закона Кирхгофа (1.5)
общее напряжение U всей цепи равно сумме
напряжений на отдельных участках:

U
= U1
+ U2
+ U3 или
IRэкв
= IR1
+ IR2
+ IR3,

откуда
следует

(1.5)

Rэкв
= R1
+ R2
+ R3.

Таким
образом, при последовательном соединении
элементов цепи общее эквивалентное
сопротивление цепи равно арифметической
сумме сопротивлений отдельных участков.
Следовательно, цепь с любым числом
последовательно включенных сопротивлений
можно заменить простой цепью с одним
эквивалентным сопротивлением Rэкв
(рис. 1.5). После этого расчет цепи
сводится к определению тока I всей цепи
по закону Ома

,

и
по вышеприведенным формулам рассчитывают
падение напряжений U1,
U2,
U3
на соответствующих участках электрической
цепи (рис. 1.4).

Недостаток
последовательного включения элементов
заключается в том, что при выходе из
строя хотя бы одного элемента, прекращается
работа всех остальных элементов цепи.

Электрическая
цепь с параллельным соединением элементов

Параллельным
называют такое соединение, при котором
все включенные в цепь потребители
электрической энергии, находятся под
одним и тем же напряжением (рис. 1.6).

Рис.
1.6

В
этом случае они присоединены к двум
узлам цепи а и b, и на основании первого
закона Кирхгофа (1.3) можно записать, что
общий ток I всей цепи равен алгебраической
сумме токов отдельных ветвей:

I
= I1
+ I2
+ I3,
т.е.
,

откуда
следует, что

(1.6)

.

В
том случае, когда параллельно включены
два сопротивления R1
и R2,
они заменяются одним эквивалентным
сопротивлением

(1.7)

.

Из
соотношения (1.6), следует, что эквивалентная
проводимость цепи равна арифметической
сумме проводимостей отдельных ветвей:

gэкв
= g1
+ g2
+ g3.

По
мере роста числа параллельно включенных
потребителей проводимость цепи gэкв
возрастает, и наоборот, общее сопротивление
Rэкв
уменьшается.

Напряжения
в электрической цепи с параллельно
соединенными сопротивлениями (рис. 1.6)

U
= IRэкв
= I1R1
= I2R2 =
I3R3.

Отсюда
следует, что

,

т.е.
ток в цепи распределяется между
параллельными ветвями обратно
пропорционально их сопротивлениям.

По
параллельно включенной схеме работают
в номинальном режиме потребители любой
мощности, рассчитанные на одно и то же
напряжение. Причем включение или
отключение одного или нескольких
потребителей не отражается на работе
остальных. Поэтому эта схема является
основной схемой подключения потребителей
к источнику электрической энергии.

Электрическая
цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным
называется такое соединение, при котором
в цепи имеются группы параллельно и
последовательно включенных сопротивлений.

Рис.
1.7

Для
цепи, представленной на рис. 1.7, расчет
эквивалентного сопротивления начинается
с конца схемы. Для упрощения расчетов
примем, что все сопротивления в этой
схеме являются одинаковыми: R1=R2=R3=R4=R5=R.
Сопротивления R4
и R5
включены параллельно, тогда сопротивление
участка цепи cd равно:

.

В
этом случае исходную схему (рис. 1.7)
можно представить в следующем виде
(рис. 1.8):

Рис.
1.8

На
схеме (рис. 1.8) сопротивление R3
и Rcd
соединены последовательно, и тогда
сопротивление участка цепи ad равно:

.

Тогда
схему (рис. 1.8) можно представить в
сокращенном варианте (рис. 1.9):

Рис.
1.9

На
схеме (рис. 1.9) сопротивление R2
и Rad
соединены параллельно, тогда сопротивление
участка цепи аb равно

.

Схему
(рис. 1.9) можно представить в упрощенном
варианте (рис. 1.10), где сопротивления
R1
и Rab
включены последовательно.

Тогда
эквивалентное сопротивление исходной
схемы (рис. 1.7) будет равно:

.

Рис.
1.10

Рис.
1.11

В
результате преобразований исходная
схема (рис. 1.7) представлена в виде
схемы (рис. 1.11) с одним сопротивлением
Rэкв.
Расчет токов и напряжений для всех
элементов схемы можно произвести по
законам Ома и Кирхгофа.

Соединение
элементов электрической цепи по схемам
«звезда» и «треугольник»

В
электротехнических и электронных
устройствах элементы цепи соединяются
по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления
R12,
R13,
R24,
R34
включены в плечи моста, в диагональ 1–4
включен источник питания с ЭДС Е, другая
диагональ 3–4 называется измерительной
диагональю моста.

Рис.
1.12

Рис.
1.13

В
мостовой схеме сопротивления R13,
R12,
R23
и R24,
R34,
R23
соединены по схеме «треугольник».
Эквивалентное сопротивление этой схемы
можно определить только после замены
одного из треугольников, например
треугольника R24
R34
R23
звездой R2
R3
R4
(рис. 1.13). Такая замена будет
эквивалентной, если она не вызовет
изменения токов всех остальных элементов
цепи. Для этого величины сопротивлений
звезды должны рассчитываться по следующим
соотношениям:

(1.8)

;

;

.

Для
замены схемы «звезда» эквивалентным
треугольником необходимо рассчитать
сопротивления треугольника:

(1.9)

;

;

.

После
проведенных преобразований (рис. 1.13)
можно определить величину эквивалентного
сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

.

studfiles.net

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Главная

Примеры решения задач ТОЭ

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Основными законами, определяющими расчет электрической цепи, являются законы Кирхгофа.

На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.

Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.

Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда» в эквивалентный «треугольник» и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.

В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.

Решение задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований


Задача 1. Для цепи (рис. 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g, если известно: R1 = R2 = 0,5 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = R5 = 1 Ом, R6 = 12 Ом, R7 = 15 Ом, R8 = 2 Ом, R9 = 10 Ом, R10= 20 Ом.

Рис. 1

Решение

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g:


Задача 2. Для цепи (рис. 2, а), определить входное сопротивление если известно: R1 = R2 = R3 = R4= 40 Ом.

Рис. 2

Решение

Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис. 2, б), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивленияможно воспользоваться формулой:

где R – величина сопротивления, Ом;

n – количество параллельно соединенных сопротивлений.


Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a–b, если R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 10 Ом (рис. 3, а).

Рис. 3

Решение

Преобразуем соединение «треугольник» f−d−c в эквивалентную «звезду». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис. 3, б):

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогда эквивалентное сопротивление равно:

И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:


Задача 4. В заданной цепи (рис. 4, а) определить методом эквивалентных преобразований входные сопротивления ветвей a−b, c–d и f−b, если известно, что: R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, R3 =4 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 2 Ом, R6 = 8 Ом, R7 = 6 Ом, R8 =8 Ом.

Решение

Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d, а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.

Рис. 4

Ветвь a−b разрывают, и т.к. сопротивление Ra–b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис. 4, б):

Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей Rcd и Rbf. Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает») из схемы сопротивления R1, R2, R3, R4 в первом случае, и R5, R6, R7, R8 во втором случае.


Задача 5. В цепи (рис. 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I1, I2, I3 и составить баланс мощностей, если известно: R1 = 12 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, U = 120 В.

Рис. 5

Решение

Эквивалентное сопротивлениедля параллельно включенных сопротивлений:

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Ток в неразветвленной части схемы:

Напряжение на параллельных сопротивлениях:

Токи в параллельных ветвях:

Баланс мощностей:


Задача 6. В цепи (рис. 6, а), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра, если известно: R1 = 2 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 40 Ом, R5 = 10 Ом, R6 = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.

Рис. 6

Решение

Если сопротивления R2, R3, R4, R5 заменить одним эквивалентным сопротивлением RЭ, то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис. 6, б).

Величина эквивалентного сопротивления:

Преобразовав параллельное соединение сопротивлений RЭ и R6 схемы (рис. 6, б), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:

откуда ток I1:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей Uab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием RЭ и R6:

Тогда амперметр покажет ток:


Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис. 7, а), если R1 = R2 = R3 = R4 = 3 Ом, J = 5 А, R5 = 5 Ом.

Рис. 7

Решение

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R1, R2, R3 в эквивалентную «звезду» R6, R7, R8 (рис. 7, б) и определим величины полученных сопротивлений:

Преобразуем параллельное соединение ветвей между узлами 4 и 5

Ток в контуре, полученном в результате преобразований, считаем равным току источника тока J, и тогда напряжение:

И теперь можно определить токи I4 и I5:

Возвращаясь к исходной схеме, определим напряжение U32 из уравнения по второму закону Кирхгофа:

Тогда ток в ветви с сопротивлением R3 определится:

Величины оставшихся неизвестными токов можно определить из уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 3 и 1:


Электронная версия статьи Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Примеры решения задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований


Метод эквивалентных преобразований 

02.09.2011, 224912 просмотров.

rgr-toe.ru

3 Схемы замещения реальных источников электрической энергии. Баланс.

При
расчете и анализе электрических цепей
реальный источник электрической энергии
с конечным значением величины внутреннего
сопротивления r0
заменяют расчетным эквивалентным
источником ЭДС или источником тока.

Источник
ЭДС имеет внутреннее сопротивление r0,
равное внутреннему сопротивлению
реального источника. Стрелка в кружке
указывает направление возрастания
потенциала внутри источника ЭДС.

Для
данной цепи запишем соотношение по
второму закону Кирхгофа

E
= U + Ir0
или E = U — Ir0.

Эта
зависимость напряжения U
на зажимах реального источника от тока
I
определяется его вольт-амперной или
внешней характеристикой. Уменьшение
напряжения источника U
при увеличении тока нагрузки I
объясняется падением напряжения
на
его внутреннем сопротивлении r0.

У
идеального источника ЭДС внутреннее
сопротивление r0 << Rн
(приближенно r00).
В этом случае его вольт-амперная
характеристика представляет собой
прямую линию, следовательно, напряжение
U
на его зажимах постоянно (U=E)
и не зависит от величины сопротивления
нагрузки Rн.

Источник
тока, заменяющий реальный источник
электрической энергии, характеризуется
неизменным по величине током Iк,
равным току короткого замыкания источника
ЭДС
,
и внутренним сопротивлениеr0,
включенным параллельно.

Стрелка
в кружке указывает положительное
направление тока источника. Для данной
цепи запишем соотношение по первому
закону КирхгофаIк
= I0
+ I;.

В
этом случае вольт-амперная (внешняя)
характеристика I(U)
источника тока определится соотношением
I
= Iк
— I0
= Iк
— U/r0

Уменьшение
тока нагрузки I
при увеличении напряжения U
на зажимах ab
источника тока, объясняется увеличением
тока Iо,
замыкающегося в цепи источника тока.

В
идеальном источнике тока r0>>Rн.
В этом случае можно считать, что при
изменении сопротивления нагрузки Rн
потребителя Iо0,
а IIк.
Тогда вольт-амперная характеристика
I(U)
идеального источника тока представляет
прямую линию, проведенную параллельно
оси абсцисс на уровне I = Iк = E/r0.

4Расчет электрических цепей методом упрощения схем

Этот
метод применяется для не очень сложных
пассивных электрических цепей, такие
цепи встречаются довольно часто, и
поэтому этот метод находит широкое
применение. Основная идея метода состоит
в том, что электрическая цепь последовательно
преобразуется («сворачивается»)
до одного эквивалентного элемента, как
это показано на рис., и определяется
входной ток. Затем осуществляется
постепенное возвращение к исходной
схеме («разворачивание») с
последовательным определением токов
и напряжений.

Последовательность
расчёта:

1.
Расставляются условно–положительные
направления токов и напряжений.

2.
Поэтапно эквивалентно преобразуются
участки цепи. При этом на каждом этапе
во вновь полученной после преобразования
схеме расставляются токи и напряжения
в соответствии с п. 1.

3.
В результате эквивалентного преобразования
определяется величина эквивалентного
сопротивления цепи.

4.
Определяется входной ток цепи с помощью
закона Ома.

5.
Поэтапно возвращаясь к исходной схеме,
последовательно находятся все токи и
напряжения.

studfiles.net

Kvant. Преобразование эл. цепей — PhysBook

Зильберман А.Р. Преобразование электрических цепей //Квант. — 2002. — № 3. — С. 30-31,34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

В этой статье рассказывается о методе, позволяющем упрощать сложные задачи по расчету электрических цепей.

Что мы понимаем под «преобразованием цепи»? Предположим, что у нас есть сложная схема из резисторов, имеющая множество выводов и подключенная к источникам. Заменим эту схему другой, но с тем же числом выводов, причем так, чтобы сопротивления между двумя любыми выводами у новой схемы были такими же, как у старой. Ясно, что источники «ничего не узнают» об этой замене и токи, потребляемые схемой, останутся прежними. Но найти эти токи, возможно, окажется проще.

Итак, если мы хотим подсчитать токи в сложной схеме, ее можно заменить более простой эквивалентной схемой. При этом токи внутри заменяемой части меняются. Поэтому так поступать можно только с той частью схемы, которая нас непосредственно не интересует.

С подобными заменами вы, конечно же, встречались. Пусть, например, в схеме два сопротивления[1]r1 и r2 включены последовательно. Их мы можем заменить одним, равным по величине сумме r1 + r2. Если же два сопротивления включены параллельно, то их также можно заменить одним, величина которого равна \(~\frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}\) . Это — простейшие примеры преобразования цепей. Мы же остановимся на более сложных схемах.

Посмотрим, как преобразуются друг в друга схемы, имеющие по три вывода, — «звезда» и «треугольник» (рис.1).

Рис. 1

Немного непривычные обозначения на рисунке 1,б очень удобны — индексы показывают, между какими точками включено сопротивление. Например, сопротивление R13 включено между точками 1 и 3 и т.д.

Если мы хотим заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между r и R, чтобы сопротивления между любыми точками были для обеих схем одинаковы.

В схеме «звезда» (см. рис. 1, а) сопротивление между точками 1 и 2 равно r1 + r2, а в схеме «треугольник» оно равно \(~\frac{R_{12} (R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) . Следовательно, для того чтобы со-
противления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы

\(~r_1 + r_2 = \frac{R_{12} (R_{13} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) . (1)

Аналогично, для точек 2 и 3

\(~r_2 + r_3 = \frac{R_{23} (R_{13} + R_{12})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) , (2)

и для точек 1 и 3:

\(~r_1 + r_3 = \frac{R_{13} (R_{12} + R_{23})}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) . (3)

Система уравнений (1) — (3) легко решается. Сложим все уравнения и поделим обе части на 2:

\(~r_1 + r_2 + r_3 = \frac{R_{12} R_{13} + R_{12} R_{23} + R_{13} R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) .

Вычтя теперь из этого уравнения уравнение (2), получим

\(~r_1 = \frac{R_{12} R_{13}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) .

Аналогично,

\(~r_2 = \frac{R_{12} R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) ,

и

\(~r_3 = \frac{R_{13} R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}\) .

Эти результаты легко запомнить — знаменатель всюду один и тот же, а в числителе справа дважды встречается тот же индекс, что и слева\[~r_1 \to R_{12} R_{13}, r_2 \to R_{12} R_{23}, r_3 \to R_{13} R_{23}\] .

Немного сложнее получить формулы для обратного преобразования:

\(~R_{12} = \frac{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3}{r_3}\) ,
\(~R_{13} = \frac{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3}{r_2}\) ,
\(~R_{23} = \frac{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3}{r_1}\) ,

но их также легко запомнить — числитель всюду один и тот же, а в знаменателе стоит как раз тот индекс, которого недостает слева.

Пользуясь формулами, которые мы только что получили, можно производить замену одной схемы другой. Например, «звезду» с сопротивлениями 1 Ом можно заменить «треугольником» с сопротивлениями 3 Ом (рис.2).

Рис. 2

Решим теперь такую задачу: найдем сопротивление между точками A и B в схеме на рисунке 3.

Рис. 3

Это обычная схема «мостика», но в нашей задаче «мостик» неуравновешен. Такие задачи приходится решать при помощи правил Кирхгофа. В школьной программе их нет, да и вычисления с помощью этих правил очень громоздкие — в нашем случае получилась бы система пяти уравнений с пятью неизвестными. Мы поступим проще: заменим «треугольник» ACD «звездой», как показано на рисунке 4.

Рис. 4

Теперь ясно, что сопротивление между точками A и B будет равно

\(~R_{AB} = \frac 13 + \frac{28}{33} = \frac{13}{11}\) Ом.

Мы заменяли «треугольник» ACD «звездой», но можно было решать задачу иначе — заменяя «звезду» ADB «треугольником» (проделайте зто самостоятельно).

Пусть теперь к точкам A и B подключена батарея с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением и ЭДС ε = 1 В. Нужно найти ток через участок СВ. Понятно, что преобразовать схему надо так, чтобы не затронуть интересующее нас сопротивление СВ. Подойдет то преобразование, которое мы делали раньше (см. рис.4). Используя, что \(~R_{AB} = \frac{13}{11}\) Ом , получим

\(~I = \frac{\varepsilon}{R_{AB}} = \frac{11}{13}\) А.

После разветвления токи в верхней и в нижней ветвях поделятся в отношении, обратном сопротивлениям ветвей:

\(~\frac{I_1}{I_2} = \frac 74\) .

Отсюда находим

\(~I_1 = \frac{7}{13}\) А.

Немного сложнее было бы найти ток, идущий через участок CD. Для этого пришлось бы еще найти ток через участок АС, а затем вычесть из него найденный уже ток через участок СВ.

Можно еще немного усложнить задачу — учесть внутреннее сопротивление батареи r. Тогда полный ток равен

\(~I = \frac{\varepsilon}{r + R_{AB}}\) ,

а остальные токи находятся так же, как и раньше.

Рис. 5

Рассмотрим более интересную задачу, найдем, при каком соотношении между величинами r и R сопротивление между точками А и В в схеме, показанной на рисунке 5, максимально в крайнем положении движка потенциометра.

Рис. 6

Сначала преобразуем схему, заменив «треугольник» ACD «звездой» (рис.6). Очевидно, что сопротивление r не влияет на соотношение сопротивлений в остальной цепи. Займемся поэтому оставшейся частью схемы. Тут включены параллельно два сопротивления: 5r + R1 и 7r + R2, где R1 и R2 — сопротивления верхней и нижней частей потенциометра соответственно. При этом сумма сопротивлений 5r + R1, и 7r + R2 остается постоянной. Посмотрим, какими они должны быть, чтобы полное сопротивление было максимальным. Обозначим

\(~5r + R_1 = r_1\) и \(~7r + R_2 = r_2\).

Тогда общее сопротивление включенных параллельно частей схемы равно

\(~r_0 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}\) .

Если учесть, что

\(~r_1 + r_2 = \operatorname{const} = c\) ,

то

\(~r_0 = \frac{r_1 (c — r_1)}{c}\) .

Это выражение максимально, когда максимален числитель. Но \(~y = cr_1 — r^2_1\) — это уравнение параболы, ветви которой пересекают ось абсцисс в точках 0 и с. Поэтому числитель дроби наибольший при \(~r_1 = \frac c2\). Так как r1 + r2 = с, то это означает, что сопротивление между точками А и В максимально, если r1 = r2, т.е.

\(~5r + R_1 = 7r + R_2\), или \(~R_1 — R_2 = 2r\).

Ясно, что это возможно лишь в том случае, если сопротивление всего потенциометра R = R1 + R2 не меньше чем 2r. В противном же случае максимум сопротивления между точками A и B достигается, когда движок потенциометра находится в крайнем положении.

Итак, ответ: R ≤ 2r.

Метод, о котором мы рассказали, очень удобен для последовательного преобразования сложной схемы к простому виду. Он позволяет рассчитать практически любую сложную цепь, состоящую из сопротивлений. Однако его можно применять и к цепям, содержащим не только сопротивления. Обратим внимание на то, что мы вообще не говорили нигде о физических процессах в цепи, а пользовались только формальным выражением для закона Ома: U = rI. Из него следует, что при последовательном соединении сопротивлений их величины складываются, а при параллельном — складываются величины, обратные сопротивлениям. Понятно, что если какие-нибудь другие физические величины связаны законом, аналогичным закону Ома, то все наши выводы справедливы и для них.

Рис. 7

В качестве примера рассмотрим цепь с конденсатором (рис.7). Мы знаем, что заряд конденсатора Q связан с его емкостью C и напряжением на нем U соотношением

\(~Q = CU\), или \(~U = \frac 1C Q\).

Сравним последнее выражение с выражением для закона Ома U = rI. Видно, что законы похожи, только вместо тока стоит заряд, а вместо сопротивления-величина, обратная емкости. Это означает, что для того чтобы найти, скажем, заряды на конденсаторах, можно поступить так: вместо цепи, содержащей конденсаторы, нарисовать цепь, содержащую сопротивления, причем конденсатор емкостью C(Ф) заменить сопротивлением \(~r = \frac 1C\) (Ом). После того как мы рассчитаем токи в цепи из сопротивлений, можно сразу записать, каковы заряды на конденсаторах: если по сопротивлению течет ток I = х (А), то на соответствующем конденсаторе будет заряд Q = х (Кл). ЭДС батарей при таком преобразовании цепи остаются без изменения. Но, разумеется, в цепи с конденсаторами внутренние сопротивления батарей не влияют на результат. Поэтому, преобразуя цепь, нам придется лишить батареи их внутренних сопротивлений.

Пусть, например, нужно найти заряд на конденсаторе емкостью 10 мкФ в схеме, изображенной на рисунке 8. Конденсатору емкостью С = 2 мкФ = 2·10-6 Ф соответствует сопротивление r = 5·105 Ом = 500 кОм. Далее расчет проводится уже достаточно просто (проделайте это самостоятельно).

Рис. 8

Таким образом, метод преобразования цепей, как мы видим, пригоден и для схем из конденсаторов.

Примечания

  1. ↑ Здесь и далее более правильно говорить «два резистора с сопротивлениями r1 и r2» (Прим. ред.)

www.physbook.ru

Преобразование электрических цепей.

 

Для упрощения расчетов и анализа электрических цепей, в ряде случаев проводят их преобразования, т.е. какую либо часть цепи заменят на схему имеющую столько же видов, на другое электрическое соединение. Преобразование считается эквивалентным если при такой замене одного многополюсника другим, токораспределение, потенциалы узлов и напряжения в неменяющейся части цепи останутся прежними.

Докажем, что схема рис.1 может быть заменена на схему рис.2. Преобразование будет считаться эквивалентным, если после замены одной схемы другой останутся неизменными ток , потенциал и , а следовательно напряжение .

Для схемы рис.1 запишем первый закон Кирхгофа для узла «a», выразим токи по обобщенному закону Ома и подставим их в узловое уравнение: ;

Теперь запишем выражение для тока по обобщенному закону Ома в схеме рис.2.

Поскольку токи в обоих схемах одинаковы, то можно прировнять правые части уравнений (1) и (2).

Равенство будет выполняться если:

Из чего следует, что

Из чего следует, что

 

Выражения (3) и (4) является условием эквивалентности наших схем. Однако эквивалентные схемы различаются с точки зрения энергетического баланса. Для доказательства этого будем считать, что , тогда

Мощность выделяющаяся в первой схеме равна:

А во второй схеме:

так как

Следовательно , что и требовалось доказать.

 
 
Эквивалентные преобразования трехлучевой звезды в треугольник и треугольника в звезду.


Для звезды в узле «о» запишем:

Выразим токи по обобщенному закону Ома:

Или

Подставим в обобщенный закон Ома для :

Теперь рассмотрим треугольник и выразим для него :

Приравнивая выражения (1) и (2) получим:

Для нахождения проводимости нужно проделать тоже самое для тока или , при этом получим:

При обратном переходе от треугольника к звезде удобнее пользоваться не проводимостями, а сопротивлениями;

Преобразование многолучевой звезды многоугольник возможно всегда, однако обратное преобразование не всегда удается выполнить.

Преобразование источника тока в источник ЭДС.

 

Источник тока , включенный параллельно можно преобразовать в источник ЭДС включенный последовательно с сопротивлением . Возможно обратное преобразование в .

Для схемы 1 запишем выражение для :

Запишем выражение для во второй схеме :

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) :

Однако нужно помнить что эти схемы различаются в энергетическом отношении.

Мощность, выделяющаяся на в первой схеме равна :

А во второй равна :

Похожие статьи:

poznayka.org

5. Эквивалентные преобразования фрагментов электрических цепей.

Фрагменты эл. цепи называются
эквивалентными, если при замене
одного из них другим состояние остальной
части цепи не изменяется. Замена
фрагментов цепи эквивалентными
применяется в основном для упрощения
расчетов и схем эл. цепей.

Рассмотрим часто встречающиеся
эквивалентные фрагменты эл цепей.
Доказательство эквивалентности основано
на законах Кирхгофа и уравнениях
элементов эл. цепей.

Фрагмент эл. цепи

Эквивалентный фрагмент эл. цепи

Формулы и примечания

Последовательное
соединение резисторов

Параллельное соединение резисторов

Примечание:

Соединение резисторов звездой.

Соединение
резисторов треугольником

Преобразование
звезды в треугольник

Соединение резисторов треугольником

Соединение резисторов звездой

Преобразование треугольника в звезду

Последовательное соединение катушек
индуктивности

Параллельное соединение катушек
индуктивности

Последовательное соединение
конденсаторов

Параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение
источников напряжения

Источник
входит в сумму с дополнительным
знаком «–», если его стрелка
направлена противоположно стрелке
эквивалентного источника.

Параллельное
соединение источников тока

Правило знаков см. выше.

Эквивалентность
реального источника напряжения и
реального источника тока

Фрагмент цепи с перемычкой

Стягивание
перемычки в узел. В узел могут
стягиваться перемычки между любыми
точками схемы электрической цепи.

6. Мощность двухполюсника

Рис. 6.1.

Рассмотрим двухполюсник в произвольном
режиме. Расставим стрелки тока и
напряжения. Если они направлены в одну
сторону, как на рис. 6.1, то выражение

имеет смысл мощности, потребляемой
двухполюсником из цепи
. Если стрелки
направлены встречно, то это же выражение
имеет смыслмощности, генерируемой
двухполюсником
.

Замечание.
Это следует из определения напряжения
как работы по перемещению заряда вдоль
определенного пути, деленной на величину
этого заряда, а также из определения
тока как заряда, протекающего в единицу
времени через заданное сечение в
указанном направлении. Произведение
напряжения и тока дает работу в единицу
времени, то есть мощность.

Мощность
— это функция времени. Функции времени
в электротехнике называют ещемгновеннымизначениями (см. п. 10).

Средней, или активной, мощностью
двухполюсника
в периодическом режиме
называется величина

,

где T– период измененияp(t).
Как и мгновенная мощность, средняя
мощность может быть потребляемой или
генерируемой в зависимости от направления
стрелок напряжения и тока. Термин
“активная мощность”, как правило,
применяется в случае синусоидальных
режимов.

Согласно закону сохранения энергии,
для любой электрической цепи выполняется
баланс мощностей:

,

Здесь мощности элементов, потребляющих
электроэнергию, отмечены знаком “+”,
а мощности элементов, генерирующих
электроэнергию – знаком «–». То
есть, суммарная электромагнитная
мощность, генерируемая элементами эл.
цепи, равна суммарной электромагнитной
мощности, потребляемой элементами эл.
цепи.
С помощью баланса мощностей
можно проверить правильность расчета
токов и напряжений в эл. цепи.

Из баланса мгновенных мощностей следует
баланс для их средних значений:

.

Замечание1:
Как потребляемая, так и генерируемая
мощность может быть отрицательной.
Отрицательная потребляемая мощность
физически соответствует генерации
электроэнергии, отрицательная генерируемая
мощность физически соответствует
потреблению электроэнергии.

Замечание2:
В уравнении баланса мощностей
дополнительный знак «–» можно
приписать не генерирующим энергию, а
потребляющим элементам.

Активная мощность измеряется ваттметром.
Это приборэлектродинамическойсистемы, он имеет две обмотки. Токовая
обмотка имеет малое сопротивление, она
состоит из небольшого числа витков
толстого провода и неподвижно закреплена
в корпусе прибора.

Обмотка напряжения имеет большое
сопротивление и состоит из большого
числа витков тонкого провода. Она
помещается внутри токовой обмотки и
может поворачиваться на оси. К обмотке
напряжения прикреплена стрелка ваттметра.

Согласно закону Ампера, вращающий
момент, обусловленный токами обмоток,
пропорционален произведению токов
обмоток на количество их витков.
Отклонение стрелки пропорционально
этому моменту.

Слабый ток обмотки напряжения
пропорционален напряжению этой обмотки,
поэтому показания ваттметра определяются
напряжением обмотки напряжения и током
токовой обмотки. Интегрирование
получается за счет механической инерции
подвижной части прибора.

Рис. 6.2. Измерение

мощности, потребляемой

резистором и генерируемой

источником.

Токовая обмотка включается
последовательно, а обмотка напряжения
— параллельно элементу, в котором
измеряется мощность
. Каждая из обмоток
имеет зажим, помеченный звездочкой
(рис. 6.2). Эти зажимы помечаются такими
же звездочками и на схемах эл. цепей.
Так делают, чтобы различать потребляемую
и генерируемую мощности, а также
определять знак мощности. Второй вывод
токовой обмотки на схемах обычно
направляют вправо, а второй вывод обмотки
напряжения — вниз.

studfiles.net

Упрощение сложной электрической цепи. — КиберПедия

Курсовая работа

По дисциплине: «Теоретические основы электротехники».

 

Тема: «Линейные электрические цепи постоянного тока. Расчёт линейной электрической цепи синусоидального тока с сосредоточенными параметрами при установившемся режиме».

Вариант 8

 

Выполнил:

студент 212 группы

Рыбаков Владимир Сергеевич

 

Проверил:

ст. преподаватель кафедры ТТЭМ

Чукита Виталий Исакович

 

 

Тирасполь, 2017

 

Содержание

Задание № 1. 2

1.Упрощение сложной электрической цепи. 3

2. Расчет преобразованной электрической цепи. 4

2.1 Метод наложения действий э. д. с. 4

2.2 Метод эквивалентного генератора. 6

3. Определение токов и их направлений. Построение потенциальной диаграммы. 8

4. Определение коэффициентов четырёхполюсника. 9

Задание №2. 15

Часть № 1. 16

1. Определение показаний приборов. 16

2. Построение векторных диаграмм.. 17

3. Мгновенные значения напряжений и токов. 18

4. Баланс активной и реактивной мощности. 19

5. Резонанс напряжений. 19

6. Резонанс токов. 20

Часть № 2. 21

1. Определение комплексов токов в ветвях и комплексы напряжений для всех ветвей цепи 21

2. Векторная диаграмма напряжений и токов. 22

3. Мгновенные значения напряжений и токов. 23

4. Комплексы мощностей всех ветвей. 23

5. Показания ваттметров в 3-ей и 4-ой ветвях. 23

Вывод. 24

Список литературы.. 25

 

 

 

Задание № 1
Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Вариант № 10

 

Исходные данные:
E1=10 В
E12=5 В
R1=R2=R3=R12=R23=R31=30 Ом

1. Упростить сложную электрическую цепь (рис. 1), используя метод преобразования треугольника и звезды. Определить токи во всех ветвях сложной цепи (рис.1), используя следующие методы:

· Метод преобразования треугольника и звезды.

2. Преобразованную электрическую цепь рассчитать:

· Методом наложения действий э. д. с.

· Методом эквивалентного генератора (определить ток в ветви без э. д. с.).

3. Определить токи, направление токов и построить потенциальную диаграмму для одного из контуров схемы с двумя э. д. с.

4. Определить коэффициенты четырёхполюсника, считая входными и выходными зажимами зажимы, к которым подключены ветви с э. д. с, и параметры Т-образной и П-образной эквивалентных схем замещения этого четырёхполюсника.

Упрощение сложной электрической цепи.

Для упрощения сложной электрической цепи (рис. 1), необходимо выбрать контур, содержащий пассивные элементы. Используем метод преобразования треугольника в звезду (рис. 2).

В результате цепь принимает вид (рис.3):


 

Найдем новые сопротивления преобразованной цепи. Т.к. по условию все исходные сопротивления одинаковы, то и новые сопротивления будут равны:

Расчет преобразованной электрической цепи.

Часть 1

1. Определить показания всех приборов, указанных на схеме.

2. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

3. Написать мгновенные значения токов и напряжений.

4. Составить баланс активной и реактивной мощности.

5. Определить для данной цепи индуктивность , при которой будет иметь место резонанс напряжений.

6. Определить емкость , при которой в ветвях 3-4 наблюдается резонанс токов.

7. Построить график изменения мощности и энергий, как функции времени , для ветвей 3-4, соответствующие резонансу токов.

Часть 2

1. Определить комплексы токов в ветвях и комплексы напряжений для всех ветвей цепи (рис. 14).

2. Построить в комплексной плоскости векторную диаграмму напряжений и токов.

3. Написать выражения мгновенных значений, найденных выше напряжений и токов.

4. Определить комплексы мощностей всех ветвей.

5. Определить показания ваттметров, измеряющих мощности в 3-ей и 4-ой ветвях.

 

Часть № 1

Резонанс напряжений.

Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным соединением индуктивного и емкостного элемента.

Рис.3. Эл.цепь при резонансе напряжений

Резонанс токов.

Рис.4. Электрическая цепь при резонансе токов

 

 

 

Часть № 2.

ВЫВОД

В курсовой работе рассмотрены методы расчёта линейных электрических цепей постоянного тока, определения параметров четырёхполюсника различных схем и их свойства. Так же был произведён расчет электрической цепи синусоидального тока сосредоточенными параметрами при установившемся режиме.

 

 

Список литературы:


1. Методические указания к курсовой работе по расчёту линейных электрических цепей постоянного тока. В.М. Ишимов, В.И. Чукита, г. Тирасполь 2013 г.

2. Теоретические основы электротехники В. Г. Мацевитый, г. Харьков 1970

3. Теоретические основы электротехники. Евдокимов А.М. 1982г.

 

Курсовая работа

По дисциплине: «Теоретические основы электротехники».

 

Тема: «Линейные электрические цепи постоянного тока. Расчёт линейной электрической цепи синусоидального тока с сосредоточенными параметрами при установившемся режиме».

Вариант 8

 

Выполнил:

студент 212 группы

Рыбаков Владимир Сергеевич

 

Проверил:

ст. преподаватель кафедры ТТЭМ

Чукита Виталий Исакович

 

 

Тирасполь, 2017

 

Содержание

Задание № 1. 2

1.Упрощение сложной электрической цепи. 3

2. Расчет преобразованной электрической цепи. 4

2.1 Метод наложения действий э. д. с. 4

2.2 Метод эквивалентного генератора. 6

3. Определение токов и их направлений. Построение потенциальной диаграммы. 8

4. Определение коэффициентов четырёхполюсника. 9

Задание №2. 15

Часть № 1. 16

1. Определение показаний приборов. 16

2. Построение векторных диаграмм.. 17

3. Мгновенные значения напряжений и токов. 18

4. Баланс активной и реактивной мощности. 19

5. Резонанс напряжений. 19

6. Резонанс токов. 20

Часть № 2. 21

1. Определение комплексов токов в ветвях и комплексы напряжений для всех ветвей цепи 21

2. Векторная диаграмма напряжений и токов. 22

3. Мгновенные значения напряжений и токов. 23

4. Комплексы мощностей всех ветвей. 23

5. Показания ваттметров в 3-ей и 4-ой ветвях. 23

Вывод. 24

Список литературы.. 25

 

 

 

Задание № 1
Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Вариант № 10

 

Исходные данные:
E1=10 В
E12=5 В
R1=R2=R3=R12=R23=R31=30 Ом

1. Упростить сложную электрическую цепь (рис. 1), используя метод преобразования треугольника и звезды. Определить токи во всех ветвях сложной цепи (рис.1), используя следующие методы:

· Метод преобразования треугольника и звезды.

2. Преобразованную электрическую цепь рассчитать:

· Методом наложения действий э. д. с.

· Методом эквивалентного генератора (определить ток в ветви без э. д. с.).

3. Определить токи, направление токов и построить потенциальную диаграмму для одного из контуров схемы с двумя э. д. с.

4. Определить коэффициенты четырёхполюсника, считая входными и выходными зажимами зажимы, к которым подключены ветви с э. д. с, и параметры Т-образной и П-образной эквивалентных схем замещения этого четырёхполюсника.

Упрощение сложной электрической цепи.

Для упрощения сложной электрической цепи (рис. 1), необходимо выбрать контур, содержащий пассивные элементы. Используем метод преобразования треугольника в звезду (рис. 2).

В результате цепь принимает вид (рис.3):

 

Найдем новые сопротивления преобразованной цепи. Т.к. по условию все исходные сопротивления одинаковы, то и новые сопротивления будут равны:

cyberpedia.su